Bài Toán Tìm Số Lớn Nhất, Nhỏ Nhất Trong Một Dãy Số Dễ Thực Hiện

Con sinh vào năm 2009	https://zalo.me/g/cieyke829
Con sinh năm2010	https://zalo.me/g/seyfiw173
Con sinh năm 2011	https://zalo.me/g/jldjoj592
Con sinh năm2012	https://zalo.me/g/ormbwj717
Con sinh vào năm 2013	https://zalo.me/g/lxfwgf190
Con sinh năm 2014	https://zalo.me/g/bmlfsd967
Con sinh năm 2015	https://zalo.me/g/klszcb046

Trong chương trình bồi dưỡng học sinh tốt toán 4, toán 5 phần những bài toán về dãy số rất đa dạng và phong phú. Các bài toán yên cầu học sinh phải vận dụng một giải pháp linh hoạt, nên biết các công thức về tính chất số các số hạng, tính tổng, tìm kiếm số hạng vật dụng n hay như là một số quy điều khoản thường chạm mặt trong bài toán có quy luật…..

Bạn đang xem: Bài toán tìm số lớn nhất, nhỏ nhất trong một dãy số dễ thực hiện

dưới đây hệ thống giáo dục và đào tạo trực con đường vinastudy.vn xin reviews một vài ví dụ cho thấy sự vận dụng kiến thức và kỹ năng cơ bạn dạng của dạng toán một bí quyết linh hoạt trong từng câu hỏi cụ thể. Mời quý phụ huynh, thầy cô và những em học sinh cùng xem thêm !

A-Dãy số cách đều

1-Công thức nên nhớ trong việc dãy số biện pháp đều:

Tính số những số hạng tất cả trong dãy = (Số hạng lớn số 1 của hàng - số hạng bé nhất của dãy) : khoảng cách giữa nhị số hạng liên tục trong hàng + 1

Tính tổng của dãy = (Số hạng lớn số 1 của hàng + số hạng bé nhỏ nhất của dãy) x số số hạng tất cả trong hàng : 2

2-Ví dụ minh họa:

Ví dụ 1: Tính cực hiếm của A biết:

A = 1 + 2 + 3 + 4 + ........................... + 2014.

Phân tích: Đây là dạng bài bác cơ phiên bản trong dạng bài bác tính tổng của dãy bao gồm quy luật bí quyết đều, đề nghị tính cực hiếm của A theo công thức tính tổng của dãy số bí quyết đều.

Bài giải

Dãy số trên có số số hạng là:

(2014 – 1) : 1 + 1 = năm trước (số hạng)

Giá trị của A là:

(2014 + 1) x năm trước : 2 = 2029105

Đáp số: 2029105

Ví dụ 2: mang lại dãy số: 2; 4; 6; 8; 10; 12; ...............

Tìm số hạng thứ năm trước của dãy số bên trên ?

Phân tích: Từ cách làm tính số những số hạng vào dãy giải pháp đều suy ra bí quyết tìm số hạng lớn nhất trong dãy là: Số hạng lớn nhất = (Số số hạng trong hàng – 1) x khoảng phương pháp giữa hai số hạng liên tiếp+ số hạng nhỏ bé nhất trong dãy.

Bài giải

Số hạng thứ 2014 của hàng số bên trên là:

(2014 – 1) x 2 + 2 = 4028

Đáp số:4028

lấy một ví dụ 3: Tính tổng 50 số lẻ liên tiếp biết số lẻ lớn nhất trong dãy chính là 2013 ?

Phân tích: Từ công thức tính số những số hạng trong dãy biện pháp đều suy ra biện pháp tìm số hạng nhỏ nhắn nhất trong dãy là: Số hạng bé bỏng nhất = Số hạng lớn số 1 - (Số số hạng trong hàng – 1) x khoảng cách giữa hai số hạng liên tiếp. Từ kia sẽ thuận lợi tính được tổng theo yêu ước của bài bác toán.

Bài giải

Số hạng nhỏ bé nhất trong hàng số đó là:

2013 - (50 – 1) x 2 = 1915

Tổng của 50 số lẻ buộc phải tìm là

(2013 + 1915) x 50 : 2 = 98200

Đáp số: 98200

Ví dụ 4: Một hàng phố có 15 nhà. Số nhà của 15 nhà đó được đánh là những số lẻ liên tiếp, biết tổng của 15 số bên của tuyến phố đó bởi 915. Hãy cho biết số nhà đầu tiên của tuyến phố đó là số như thế nào ?

Phân tích: vấn đề cho họ biết số số hạng là 15, khoảng cách của 2 số hạng liên tiếp trong dãy là 2 cùng tổng của dãy số bên trên là 915. Từ này sẽ tính được hiệu với tổng của số nhà đầu cùng số công ty cuối. Kế tiếp chuyển bài toán về dạng search số bé xíu biết tổng và hiêu của nhì số đó.

Bài giải

Hiệu giữa số nhà cuối cùng số nhà đầu là:

(15 - 1) x 2 = 28

Tổng của số đơn vị cuối với số nhà đầu là:

915 x 2 : 15 = 122

Số nhà trước tiên trong tuyến phố đó là:

(122 - 28) : 2 = 47

Đáp số: 47

3-Các dạng bài cụ thể:

Dạng 1. Tra cứu số số hạng của hàng số:

Bài tập vận dụng:

Bài 1: Viết những số lẻ tiếp tục từ 211. Số sau cùng là 971. Hỏi viết được từng nào số?

Giải: hai số lẻ thường xuyên hơn nhát nhau 2 đơn vị Số cuối rộng số đầu số đơn vị là: 971 – 211 = 760 (đơn vị) 760 đơn vị có số khoảng cách là: 760: 2 = 380 (khoảng cách) hàng số trên bao gồm số số hạng là: 380 +1 = 381 (số) Đáp số:381 số hạng

Bài 2: mang lại dãy số 11, 14, 17,. .., 68. A, Hãy xác minh dãy trên tất cả bao nhiêu số hạng? b, trường hợp ta tiếp tục kéo dài các số hạng của dãy số thì số hạng lần thứ nhất 996 là số mấy?

Giải: a, Ta có: 14 – 11 = 3 17 – 14 = 3 Vậy quy biện pháp của dãy là: mỗi số hạng đứng sau thông qua số hạng đứng trước cùng với 3. Số những số hạng của hàng là: ( 68 – 11 ): 3 + 1 = đôi mươi (số hạng) b, Ta thừa nhận xét: Số hạng trang bị hai: 14 = 11 + 3 = 11 + (2 – 1) x 3 Số hạng trang bị ba: 17 = 11 + 6 = 11 + (3 – 1) x 3 Số hạng thứ bốn : 20 = 11 + 9 = 11 + (4 – 1) x 3 Vậy số hạng lần thứ nhất 996 là: 11 + (1 996 – 1) x 3 = 5 996 Đáp số: 20 số hạng; 5 996

Bài 3: trong số số có bố chữ số, gồm bao nhiêu số phân chia hết đến 4?

Giải: Ta bao gồm nhận xét: số nhỏ dại nhất có cha chữ số phân tách hết đến 4 là 100 với số lớn số 1 có bố chữ số phân chia hết đến 4 là 996. Như vậy những số có ba chữ số chia hết mang lại 4 lập thành một dãy số gồm số hạng đầu là 100, số hạng cuối là 996 và mỗi số hạng của dãy (Kể trường đoản cú số hạng thiết bị hai) thông qua số hạng đứng kề trước cộng với 4. Vậy những số bao gồm 3 chữ số phân tách hết đến 4 là: (996 – 100): 4 + 1 = 225 (số) Đáp số: 225 số

Dạng 2. Kiếm tìm tổng các số hạng của hàng số:

Bài tập vận dụng:

Bài 1: Tính tổng của 100 số lẻ đầu tiên.

Giải: dãy của 100 số lẻ thứ nhất là: 1 + 3 + 5 + 7 + 9 +. . . + 197 + 199. Ta có: 1 + 199 = 200 3 + 197 = 200 5 + 195 = 200 ... Vậy tổng phải tìm là: 200 x 100: 2 = 10 000 Đáp số 10 000

Bài 2: Viết các số chẵn liên tiếp: 2, 4, 6, 8,. . . , 2000 Tính tổng của dãy số trên

Giải: dãy số bên trên 2 số chẵn thường xuyên hơn yếu nhau 2 solo vị. Hàng số trên có số số hạng là: (2000 – 2): 2 + 1 = 1000 (số) 1000 số gồm số cặp số là: 1000: 2 = 500 (cặp) Tổng 1 cặp là: 2 + 2000 = 2002 Tổng của dãy số là: 2002 x 500 = 100100

Dạng 3. Tìm kiếm số hạng đồ vật n:

Bài tập vận dụng:

Bài 1: cho dãy số: 1, 3, 5, 7,... Hỏi số hạng thứ trăng tròn của dãy là số nào?

Giải: hàng đã cho là dãy số lẻ nên các số liên tiếp trong dãy cách nhau 1 khoảng cách là 2 đơn vị. Trăng tròn số hạng thì có số khoảng cách là: trăng tròn – 1 = 19 (khoảng cách) 19 số có số đơn vị là: 19 x 2 = 38 (đơn vị) Số cuối cùng là: 1 + 38 = 39 Đáp số: Số hạng thứ đôi mươi của dãy là 39

Bài 2: Viết trăng tròn số lẻ, số sau cuối là 2001. Số đầu tiên là số nào?

Giải: 2 số lẻ tiếp tục hơn nhát nhau 2 đơn vị chức năng 20 số lẻ gồm số khoảng cách là: 20 – 1 = 19 (khoảng cách) 19 khoảng cách có số đơn vị chức năng là: 19 x 2 = 38 (đơn vị) Số thứ nhất là: 2001 – 38 = 1963 Đáp số : số đầu tiên là 1963.

Dạng 4. Tìm kiếm số chữ số biết số số hạng

Ghi nhớ: Để tìm số chữ số ta: + search xem trong hàng số tất cả bao nhiêu số số hạng + trong các các số đó bao gồm bao nhiêu số tất cả 1, 2, 3, 4,. .. Chữ số

Bài tập vận dụng:

Bài 1: mang lại dãy số 1, 2, 3, 4,. .., 150. Dãy này có bao nhiêu chữ số

Giải: dãy số 1, 2, 3,. .., 150 gồm 150 số. Trong 150 số có + 9 số có 1 chữ số + 90 số có 2 chữ số + các số bao gồm 3 chữ số là: 150 – 9 – 90 = 51 (chữ số) Dãy này còn có số chữ số là: 1 x 9 + 2 x 90 + 3 x 51 = 342 (chữ số) Đáp số: 342 chữ số

Bài 2: Viết những số chẵn tiếp tục tữ 2 mang đến 1998 thì nên viết bao nhiêu chữ số?

Giải: Giải: dãy số: 2, 4,. .., 1998 gồm số số hạng là: (1998 – 2): 2 + 1 = 999 (số) trong 999 số có: 4 số chẵn có một chữ số 45 số chẵn có 2 chữ số 450 số chẵn có 3 chữ số những số chẵn tất cả 4 chữ số là: 999 – 4 – 45 – 450 = 500 (số) số lượng chữ số đề nghị viết là: 1 x 4 + 2 x 45 + 3 x 450 + 4 x 500 = 3444 (chữ số) đáp số: 3444 chữ số

Dạng 5. Search số số hạng biết số chữ số

Bài tập vận dụng:

Bài 1: Một quyển sách coc 435 chữ số. Hỏi quyển sách đó có bao nhiêu trang?

Giải: Để khắc số trang sách tín đồ ta bắt đầu đánh tữ trang số 1. Ta thấy để khắc số trang có 1 chữ số người ta đánh mất 9 số cùng mất: 1 x 9 = 9 (chữ số) Số trang sách tất cả 2 chữ số là 90 bắt buộc để đánh 90 trang này mất: 2 x 90 = 180 (chữ số) Đánh quyển sách bao gồm 435 chữ số như vậy chỉ mang đến số trang gồm 3 chữ số. Số chữ số để viết số trang sách tất cả 3 chữ số là: 435 – 9 – 180 = 246 (chữ số) 246 chữ số thì tấn công được số trang tất cả 3 chữ số là: 246: 3 = 82 (trang) cuốn sách đó tất cả số trang là: 9 + 90 + 82 = 181 (trang) đáp số: 181 trang

Bài 2: Viết các số lẻ liên tiếp bước đầu từ số 87. Hỏi nếu đề nghị viết toàn bộ 3156 chữ số thì viết cho số nào?

Giải: từ 87 mang lại 99 có những số lẻ là: (99 – 87): 2 + 1 = 7 (số) Để viết 7 số lẻ cần: 2 x 7 = 14 (chữ số) tất cả 450 số lẻ bao gồm 3 chữ số buộc phải cần: 3 x 450 = 1350 (chữ số) Số chữ số dùng để viết các số lẻ tất cả 4 chữ số là: 3156 – 14 – 1350 = 1792 (chữ số) Viết được những số có 4 chữ số là: 1792: 4 = 448 (số) Viết đến số: 999 + (448 – 1) x 2 = 1893

----------------------- * BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1: Tính tổng: a, 6 + 8 + 10 +. .. + 1999. B, 11 + 13 + 15 +. .. + 147 + 150 c, 3 + 6 + 9 +. .. + 147 + 150. Bài 2: Có bao nhiêu số: a, tất cả 3 chữ số khi chia cho 5 dư 1? dư 2? b, bao gồm 4 chữ số phân chia hết đến 3? c, tất cả 3 chữ số nhỏ tuổi hơn 500 mà phân chia hết mang đến 4? Bài 3: Khi đánh số thứ tự những dãy đơn vị trên một mặt đường phố, người ta dùng các số lẻ tiếp tục 1, 3, 5, 7,. .. để đánh số dãy trước tiên và các số chẵn thường xuyên 2, 4, 6, 8,. .. để khắc số dãy sản phẩm công nghệ hai. Hỏi nhà sau cùng trong hàng chẵn của con đường phố chính là số mấy, nếu lúc đánh số dãy này fan ta đã sử dụng 769 chữ cả thảy? Bài 4: Cho dãy các số chẵn thường xuyên 2, 4, 6, 8,. .. Hỏi số 1996 là số hạng máy mấy của hàng này? phân tích và lý giải cách tìm. Bài 5: Tìm tổng của: a, những số tất cả hai chữ số phân tách hết cho 3; b, các số tất cả hai chữ số phân tách cho 4 dư 1; c, 100 số chẵn đầu tiên; d, 10 số lẻ khác nhau lớn hơn đôi mươi và nhỏ dại hơn 40.

Bài 6: Viết 25 số lẻ tiếp tục số ở đầu cuối là 2001. Hỏi số đầu tiên là số nào? Bài 7: Cho hàng số bao gồm 25 số hạng: .. . , 146, 150, 154. Hỏi số đầu tiên là số nào?

Bài 8: dãy số lẻ từ bỏ 9 cho 1999 tất cả bao nhiêu chữ số Bài 9: Viết những số chẵn liên tiếp bước đầu từ 60. Hỏi nếu viết 2590 chữ số thì viết đến số nào? Bài 10: a, tất cả bao nhiêu số chẵn bao gồm 4 chữ số? b, có bao nhiêu số bao gồm 3 chữ số hầu như lẻ? c, có bao nhiêu số bao gồm 5 chữ số mà trong đó có ít nhất hai chữ số kiểu như nhau? Bài 11: cho dãy số tự nhiên và thoải mái liên tiếp: 1, 2, 3, 4, 5,..., x. Tra cứu x biết hàng số bao gồm 1989 chữ số Bài 12: cho dãy số 1,1; 2,2; 3,3;...; 108,9; 110,0 a, dãy số này có bao nhiêu số hạng? b, Số hạng thiết bị 50 của hàng là số hạng nào?

B - QUY LUẬT VIẾT DÃY SỐ:

1- kiến thức cần để ý (cách giải): Trước hết ta cần khẳng định quy điều khoản của hàng số. Những quy quy định thường chạm chán là: + từng số hạng (kể tự số hạng thứ hai) thông qua số hạng đứng trước nó cùng (hoặc trừ) với một số tự nhiên d; + từng số hạng (kể từ số hạng máy hai) bằng số hạng đứng trước nó nhân (hoặc chia) với 1 số tự nhiên và thoải mái q khác 0; + mỗi số hạng (kể tự số hạng đồ vật ba) bằng tổng hai số hạng đứng trước nó; + từng số hạng (kể trường đoản cú số hạng máy tư) bởi tổng của số hạng đứng trước nó cộng với số tự nhiên và thoải mái d cộng với số thiết bị tự của số hạng ấy; + Số hạng đứng sau thông qua số hạng đứng trước nhân với số đồ vật tự; v . . . V

Loại 1: Dãy số biện pháp đều:

Bài 1: Viết tiếp 3 số: a, 5, 10, 15, ... B, 3, 7, 11, ...

Giải: a, Vì: 10 – 5 = 5 15 – 10 = 5 dãy số bên trên 2 số hạng tức thời nhau hơn yếu nhau 5 solo vị. Vậy 3 số tiếp theo là: 15 + 5 = 20 20 + 5 = 25 25 + 5 = 30 hàng số bắt đầu là: 5, 10, 15, 20, 25, 30. B, 7 – 3 = 4 11 – 7 = 4 hàng số trên 2 số hạng tức thời nhau hơn nhát nhau 4 đối chọi vị. Vậy 3 số tiếp theo sau là: 11 + 4 = 15 15 + 4 = 19 19 + 4 = 23 dãy số new là: 3, 7, 11, 15, 19, 23. Dãy số biện pháp đều thì hiệu của từng số hạng cùng với số tức thì trước luôn bằng nhau

Loại 2: Dãy số khác:

Bài 1: Viết tiếp 3 số hạng vào dãy số sau: a, 1, 3, 4, 7, 11, 18, ... B, 0, 2, 4, 6, 12, 22, ... C, 0, 3, 7, 12, ... D, 1, 2, 6, 24, ...

Giải: a, Ta thừa nhận xét: 4 = 1 + 3 7 = 3 + 4 11 = 4 + 7 18 = 7 + 11 ... Từ kia rút ra quy mức sử dụng của hàng số là: từng số hạng (Kể tự số hạng trang bị ba) bằng tổng của nhị số hạng đứng trước nó. Viết tiếp tía số hạng, ta được hàng số sau: 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76,... B, tương tự như bài a, ta tìm ra quy qui định của hàng số là: từng số hạng (kể từ số hạng sản phẩm công nghệ tư) bằng tổng của 3 số hạng đứng trước nó. Viét tiếp ba số hạng, ta được dãy số sau. 0, 2, 4, 6, 12, 22, 40, 74, 136, ... C, ta nhận xét: Số hạng thứ hai là: 3 = 0 + 1 + 2 Số hạng thứ tía là: 7 = 3 + 1 + 3 Số hạng thứ bốn là: 12 = 7 + 1 + 4 . . . Từ đó rút ra quy vẻ ngoài của dãy là: mỗi số hạng (kể từ số hạng trang bị hai) bởi tổng của số hạng đứng trước nó cộng với cùng một và cộng với số thứ tự của số hạng ấy. Viết tiếp tía số hạng ta được dãy số sau. 0, 3, 7, 12, 18, 25, 33, ... D, Ta thừa nhận xét: Số hạng thiết bị hai là 2 = 1 x 2 Số hạng thứ tía là 6 = 2 x 3 số hạng thứ tứ là 24 = 6 x 4 . . . Từ kia rút ra quy qui định của hàng số là: mỗi số hạng (kể từ số hạng sản phẩm công nghệ hai) bởi tích của số hạng đứng lập tức trước nó nhân cùng với số đồ vật tự của số hạng ấy. Viết tiếp tía số hạng ta được dãy số sau: 1, 2, 6, 24, 120, 720, 5040, ...

Bài 2: Tìm số hạng trước tiên của những dãy số sau: a, . . ., 17, 19, 21 b, . . . , 64, 81, 100 hiểu được mỗi dãy tất cả 10 số hạng.

Giải: a, Ta thừa nhận xét: Số hạng sản phẩm công nghệ mười là 21 = 2 x 10 + 1 số ít hạng trang bị chín là: 19 = 2 x 9 + một số hạng máy tám là: 17 = 2 x 8 + 1 . . . Từ kia suy ra quy lao lý của dãy số trên là: Mỗi số hạng của dãy bằng 2 x thứ tự của số hạng trong hàng rồi cộng với 1. Vậy số hạng đầu tiên của hàng là 2 x 1 + 1 = 3 b, giống như như trên ta rút ra quy pháp luật của hàng là: Mỗi số hạng ngay số thứ tự nhân số sản phẩm tự của số hạng đó. Vậy số hạng trước tiên của dãy là: 1 x 1 = 1

Bài 3: Lúc 7 giờ đồng hồ sáng, Một người bắt đầu từ A, đi xe đạp về B. Đến 11 giờ đồng hồ trưa tín đồ đó dừng lại nghỉ ăn trưa một tiếng, kế tiếp lại đi tiếp và 3 giờ chiều thì về cho B. Vị ngược gió, mang đến nen tốc độ của tín đồ đó sau mỗi giờ lại giảm sút 2 km. Tìm vận tốc của tín đồ đó khi xuất phát, biết rằng tốc đọ đi trong giờ cuối quãng con đường là 10 km/ tiếng ?

Giải: thời gian người đó đi trên tuyến đường là: (11 – 7) + (15 – 12) = 7 (giờ) Ta dìm xét: tốc độ người đó đi vào tiếng sản phẩm 7 là: 10 (km/giờ) = 10 + 2 x 0 tốc độ người kia đi vào tiếng sản phẩm công nghệ 6 là: 12 (km/giờ) = 10 + 2 x 1 vận tốc người đó đi trong tiếng trang bị 5 là: 14 (km/giờ) = 10 + 2 x 2 . . . Từ kia rút ra vận tốc người kia lúc khởi thủy (trong tiếng thiết bị nhất) là: 10 + 2 x 6 = 22 (km/giờ)

Loại 3: xác minh số a bao gồm thuộc hàng đã đến hay không: Cách giải: - xác minh quy phương tiện của dãy. - bình chọn số a có thoả mãn quy lý lẽ đó xuất xắc không.

Bài tập: Em hãy mang lại biết: a, những số 50 với 133 gồm thuộc hàng 90, 95, 100,. .. Tuyệt không? b, Số 1996 thuộc hàng 3, 6, 8, 11,. .. Hay không? c, Số nào trong những số 666, 1000, 9999 thuộc hàng 3, 6, 12, 24,. ..? giải thích tại sao?

Giải: a, cả hai số 50 với 133 gần như không ở trong dãy đang cho do - các số hạng của dãy đã cho đều to hơn 50; - các số hạng của dãy sẽ cho phần đông chia hết mang đến 5 cơ mà 133 không phân chia hết đến 5. B, Số 1996 không thuộc dãy vẫn cho, vị mọi số hạng của dãy khi chia cho hồ hết dư 2 mà 1996: 3 thì dư 1. C, Cả 3 số 666, 1000, 9999 hầu hết không thuộc dãy 3, 6, 12, 24,. .., bởi - mỗi số hạng của hàng (kể từ bỏ số hạng lắp thêm 2) thông qua số hạng ngay tắp lự trước nhân cùng với 2. Mang đến nên những số hạng (kể từ bỏ số hạng sản phẩm 3) bao gồm số hạng đứng tức khắc trước là số chẵn mà 666: 2 = 333 là số lẻ. - những số hạng của dãy hầu hết chia hết đến 3 nhưng 1000 không phân chia hết mang đến 3 - các số hạng của dãy (kể tự số hạng trang bị hai) những chẵn mà 9999 là số lẻ. ----------------------- * BÀI TẬP TỰ LUYỆN:

Bài 1: Viết tiếp nhì số hạng của dãy số sau: a, 100; 93; 85; 76;... B, 10; 13; 18; 26;... C, 0; 1; 2; 4; 7; 12;... D, 0; 1; 4; 9; 18;... E, 5; 6; 8; 10;... F, 1; 6; 54; 648;... G, 1; 3; 3; 9; 27;... H, 1; 1; 3; 5; 17;... Bài 2: Điền thêm 7 số hạng vào tổng sau sao cho mỗi số hạng trong tổng đều lớn hơn số hạng đứng trước nó: 49 +. .. . .. = 420. Giải thích cách tìm. Bài 3: Tìm nhị số hạng đầu của các dãy sau: a,. . . , 39, 42, 45; b,. . . , 4, 2, 0; c,. . . , 23, 25, 27, 29; biết rằng mỗi dãy bao gồm 15 số hạng.

------HẾT------

Trong quá trình làm tài liệu bao gồm sưu tầm bên trên internet.

Các bạn cùng giải bài bác tập tự luyện cùng cùng trao đổi đáp án ở dưới comment nhé!

I. Cấu trúc dữ liệu deque - Hàng đợi hai đầu
1. Giới thiệu chung
Khi học lập trình C++, có lẽ chúng ta đều đã biết đến hai container stack và queue - nhị cấu trúc dữ liệu ngăn xếp và hàng đợi được xây dựng sẵn vào thư viện STL C++. Nếu tưởng tượng cả hàng đợi và chống xếp được biểu diễn bằng mảng, thì hàng đợi sẽ hỗ trợ chúng ta lấy phần tử ra từ đầu mảng và thêm phần tử vào cuối mảng, còn phòng xếp hỗ trợ chúng ta thêm và lấy ra phần tử từ cuối mảng.
Để khắc phục nhược điểm của stack và queue, người ta nghĩ ra một cấu trúc dữ liệu mới là hàng đợi hai đầu (deque). Hàng đợi nhị đầu là sự kết hợp giữa stack và queue, hỗ trợ tất cả các thao tác thêm, xóa phần tử từ nhị đầu hàng đợi với độ phức tạp vẫn là O(1)O(1)O(1). Sử dụng cấu trúc dữ liệu này sẽ cầm cố thế được cả stack và queue, đồng thời lại rất dễ tưởng tượng hình vẽ.

*Mô tả hàng đợi hai đầu dưới dạng mảng*
2. Sử dụng hàng đợi nhị đầu vào C++
Hàng đợi nhị đầu đã được xây dựng sẵn trong STL C++, nên việc cài đặt lại là ko cần thiết. Để sử dụng, trước tiên ta khai báo header queue cùng với không gian tên chuẩn (đối với các ngôn ngữ khác sẽ có các thư viện tương ứng):
#include using namespace std;Sau đó, khai báo theo cú pháp:
deque Kiểu_phần_tử> Tên_hàng_đợi;Ví dụ: Khai báo một hàng đợi nhị đầu chứa số nguyên:
deque int > qu;Bảng dưới trên đây sẽ cung cấp các phương thức được hỗ trợ của container deque:
Tên phương thức
Tác dụng
Độ phức tạp
push_front(x) Thêm phần tử xxx vào đầu hàng đợi O(1)O(1)O(1)
pop_front() Xóa một phần tử ở đầu hàng đợi O(1)O(1)O(1)
push_back(x) Thêm phần tử xxx vào cuối hàng đợi O(1)O(1)O(1)
pop_back() Xóa một phần tử ở cuối hàng đợi O(1)O(1)O(1)
size() Trả về kích thước hiện tại của hàng đợi O(1)O(1)O(1)
empty() Trả về true nếu hàng đợi rỗng, ngược lại trả về false O(1)O(1)O(1)
front() Trả về phần tử ở đầu hàng đợi O(1)O(1)O(1)
back() Trả về phần tử ở cuối hàng đợi O(1)O(1)O(1)
II. Kĩ thuật Tìm min - max trên đoạn tịnh tiến
Trong nhiều bài toán, các bạn sẽ cần phải tìm giá trị lớn nhất - nhỏ nhất bên trên một đoạn liên tục. Có nhiều phương pháp để làm việc này, chẳng hạn như sử dụng các cấu trúc dữ liệu Cây phân đoạn (Segment Tree) tuyệt ***Cây chỉ số nhị phân (Binary Indexed Tree)***,...Tuy nhiên, nếu như đoạn cần kiểm tra là một đoạn dịch chuyển liên tục, thì kĩ thuật Deque Tìm min - max trên đoạn tịnh tiến thường được ưu tiên sử dụng vì sự 1-1 giản và độ phức tạp nhỏ.
Cấu trúc dữ liệu hàng đợi nhị đầu sẽ được sử dụng vào kĩ thuật này. Tư tưởng của phương pháp dựa bên trên kĩ thuật Stack đối kháng điệu, chỉ giữ trữ các phần tử trong hàng đợi theo thứ tự tăng hoặc giảm, thế nào cho phần tử ở đầu hàng đợi luôn luôn là min hoặc max của đoạn đã xét. Lược đồ của phương pháp có thể tế bào tả như sau:
Xét_đoạn_, định_thêm_r_vào_đoạn_đang_xét // Lọc lại hàng đợi từ đầu. // Loại bỏ toàn bộ các phần tử ở đầu hàng đợi ko thuộc đoạn . While (!deque.empty() && deque.front() not in ) deque.pop_front(); // Lọc lại hàng đợi từ cuối. // Hàm comp(): Kiểm tra việc thêm r vào cuối hàng đợi có phá vỡ trật tự tuyệt không. // Nếu có thì xóa các phần tử ở cuối hàng đợi tới lúc không vi phạm nữa. While (!deque.empty() && !comp(deque.back(), r)) deque.pop_back(); // Thêm phần tử r vào cuối hàng đợi. Deque.push_back(r);Bây giờ, mình sẽ phân tích một số ví dụ cụ thể để giúp các bạn hiểu rõ hơn về kĩ thuật và cách áp dụng nó trong các bài toán!
Bài toán 1
Đề bài
Cho một mảng AAA gồm n (1≤n≤106)n (1 le n le 10^6)n (1≤n≤106) số nguyên a1,a2,...,an (1≤ai≤109)a_1, a_2,..., a_n (1 le a_i le 10^9)a1,a2,...,an (1≤ai≤109) cùng với một số nguyên kkk.
Yêu cầu: Hãy tìm giá trị lớn nhất vào các đoạn liên tiếp:
a1,a2,…,aka_1, a_2, dots, a_ka1,a2,…,ak.a2,a3,…,ak+1a_2, a_3, dots, a_k + 1a2,a3,…,ak+1.…dots…an−k+1,an−k+2,…,ana_n - k + 1, a_n - k + 2, dots, a_nan−k+1,an−k+2,…,an.
Input:
Dòng đầu tiên chứa nhì số nguyên dương nnn và kkk.Dòng thứ nhì chứa các số nguyên a1,a2,...,ana_1, a_2,..., a_na1,a2,...,an.
Output:
In ra kkk số nguyên là giá trị lớn nhất của từng đoạn số
Sample Input
4 23 2 4 1Sample Output
3 4 4
Ý tưởng
Cách làm 1-1 giản của bài toán này có độ phức tạp O(k×(n−k)),Oig(k imes (n - k)ig),O(k×(n−k)), ta sẽ xét mọi đoạn con độ dài kkk của dãy số và tìm ra giá trị lớn nhất của các đoạn nhỏ đó:
for (int i = k; i n; ++i) int max_range = a; for (int j = i - 1; j >= i - k + 1; --j) max_range = max(max_range, a); cout max_range " ";Tất nhiên phương pháp này ko thể giải quyết bài toán, ta cần một cách làm tốt hơn. Nhận xét thấy, lúc xét một đoạn ,,, thì giá trị lớn nhất của đoạn đó sẽ chỉ phụ thuộc vào những ô có giá trị giảm ngặt và vị trí tăng dần vào đoạn (các ô màu đỏ):
Nhận xét trên mang lại ta một ý tưởng về việc xây dựng một hàng đợi nhị đầu chỉ giữ các ô có vị trí tăng dần và giá trị giảm dần vào đoạn vẫn xét. Nhờ thế, tin tức về phần tử lớn nhất trong đoạn sẽ được lưu lại ở vị trí front() của hàng đợi. Vậy ta thực hiện theo bốn bước như sau:
Đầu tiên khởi tạo một hàng đợi rỗng. Hàng đợi này dùng để lưu lại vị trí của các phần tử vào đoạn .Khi chuẩn bị đẩy một phần tử iii vào cuối hàng đợi, cần loại bỏ tất cả các phần tử ở cuối hàng đợi mà có giá trị nhỏ hơn hoặc bằng aia_iai (để đảm bảo tính giảm ngặt về giá trị của các phần tử trong hàng đợi).Loại bỏ toàn bộ các phần tử ở đầu hàng đợi có vị trí nhỏ hơn i−k+1,i - k + 1,i−k+1, vì ta sẽ xét đoạn . Thực tế, vì việc tịnh tiến đoạn chỉ dịch về phía sau một vị trí, bắt buộc chỉ có tối đa một phần tử ở đầu hàng đợi bị loại đi.Cuối cùng, phần tử ở đầu hàng đợi sẽ là vị trí của phần tử có giá trị lớn nhất trong đoạn. Lưu lại ý rằng, ta nên lưu trữ vị trí của các phần tử nỗ lực vì giá trị của chúng, như vậy sẽ dễ dàng rộng trong việc quản lý đoạn sẽ xét.
Lấy ví dụ với mảng ở hình vẽ mặt trên, ta sẽ có quy trình lọc hàng đợi như sau (bạn đọc tự vẽ hình dựa theo tế bào tả để tưởng tượng):
Ban đầu khởi tạo hàng đợi rỗng. Đưa vị trí 111 và 222 vào hàng đợi.Xét vị trí 3,3,3, ta có a3=5>a,a_3 = 5 > a< extdeque.back()>,a3=5>a, vì vậy loại bỏ phần tử 222 trong deque đi rồi mới chuyển 333 vào.Đưa vị trí 444 vào hàng đợi.Xét vị trí i=5,i = 5,i=5, phần tử 111 ở đầu hàng đợi sẽ bị loại đi vị đoạn đang xét lúc này đã là <2,5>,<2, 5>,<2,5>, vị trí 111 không còn thuộc đoạn nữa. Ngoài ra, vị a5a_5a5 lớn hơn tất cả các phần tử trong hàng đợi hiện tại, nên toàn bộ hàng đợi sẽ bị loại đi từ cuối, rồi mới đưa vị trí 555 vào.Cứ tiếp tục thực hiện thuật toán như vậy mỗi khi xét tới một giá trị iii mới. Nếu như i≥ki ge ki≥k thì đoạn vẫn xét đã có đủ kkk phần tử, lúc này in ra giá trị của phần tử ở đầu hàng đợi.
Cài đặt
#include using namespace std;int main() ios_base:sync_with_stdio(false); cin.tie(nullptr); int n, k; cin >> n >> k; int a; for (int i = 1; i n; ++i) cin >> a; deque int > qu_max; for (int i = 1; i n; ++i) // Lọc các phần tử ko thuộc đoạn . While (!qu_max.empty() && a a) qu_max.pop_back(); // Lọc lại từ cuối deque để đảm bảo tính giảm ngặt. While (!qu_max.empty() && qu_max.front() i - k + 1) qu_max.pop_front(); qu_max.push_back(i); if (i >= k) cout a " "; return 0;
Đánh giá
Độ phức tạp thuật toán: O(n),O(n),O(n), vì chưng mỗi phần tử chỉ vào và ra khỏi deque không quá 111 lần.
Chi phí lưu lại trữ: O(n)O(n)O(n).
Bài toán 2
Đề bài
Cho mảng AAA gồm n (1≤n≤105)n (1 le n le 10^5)n (1≤n≤105) số nguyên a1,a2,...,an (1≤ai≤109)a_1, a_2,..., a_n (1 le a_i le 10^9)a1,a2,...,an (1≤ai≤109).
Yêu cầu: Ứng với mỗi ai,a_i,ai, hãy tìm đoạn dài nhất thỏa mãn:
li≤i≤ril_i le i le r_ili≤i≤ri.aia_iai là giá trị nhỏ nhất vào đoạn al,al+1,...,ara_l, a_l + 1,..., a_ral,al+1,...,ar.
Input
Dòng đầu tiên chứa số nguyên dương nnn.Dòng thứ nhị chứa nnn số nguyên a1,a2,...,ana_1, a_2,..., a_na1,a2,...,an.
Output:
Ứng với mỗi ai,a_i,ai, giới thiệu cặp chỉ số li,ril_i, r_ili,ri tương ứng trên một dòng.
Sample Input
61 3 5 8 4 2 Sample Output
1 62 53 44 43 52 6
Ý tưởng
Xây dựng nhị mảng l,rl, rl,r làm thế nào cho ứng với mỗi aia_iai thì:
{li≤i≤ri.ai=min(ali,ali+1,…,ari).(ri−li+1) max.egincasesl_i le i le r_i.\ a_i = extmin(a_l_i, a_l_i + 1, dots, a_r_i).\ (r_i - l_i + 1) extmax. endcases⎩⎨⎧li≤i≤ri.ai=min(ali,ali+1,…,ari).(ri−li+1) max.
Cách làm đơn giản nhất ta có thể nghĩ ra là xét từng bộ phận i và không ngừng mở rộng phạm vi của lil_ili với rir_iri về nhị bên. Giải pháp làm này độ phức hợp O(n2),O(n^2),O(n2), thiết đặt như sau:
for (int i = 1; i n; ++i) l = r = i; while (l > 0 && a - 1> >= a) --l; while (r n && a + 1> >= a) ++r;Với giới hạn n≤105,n le 10^5,n≤105, chắc chắn cách làm này không thể thỏa mãn yêu thương cầu đề bài. Ta cần một cách làm tốt hơn. Từ ý tưởng trên, các bạn có thể rút ra nhận xét như sau:
(li−1)=0(l_i - 1) = 0(li−1)=0 hay những số lớn số 1 sao cho:
{(li−1)i.ali–1ai. (1)egincases(l_i - 1) {(li−1)i.ali–1ai. (1)
(ri+1)=n+1(r_i + 1) = n + 1(ri+1)=n+1 hay những số nhỏ dại nhất sao cho:
{(ri+1)>i.ari+1ai. (2)egincases(r_i + 1) > i.\ a_r_i + 1 {(ri+1)>i.ari+1ai. (2)
Từ nhì nhận xét (1)(1)(1) và (2),(2),(2), ta sẽ cải tiến giải thuật bằng cách xây dựng hàng đợi nhị đầu như sau: trong lúc duyệt các bộ phận ai,a_i,ai, ta sẽ gửi vị trí iii vào thời gian cuối deque, tuy nhiên trước đó cần phải sa thải tất cả các vị trí jjj nghỉ ngơi cuối deque mà aj≥aia_j ge a_iaj≥ai. Tức là, ta sẽ có được một deque gồm những giá trị vị trí sao cho các bộ phận tương ứng ở vị trí đó bên trên mảng AAA luôn luôn luôn là tăng dần, đồng nghĩa với việc, cực hiếm ở front() của deque đó là giá trị thỏa mãn: adeque.front()=min(a1,a2,…,ai)a_ extdeque.front() = extmin(a_1, a_2, dots, a_i)adeque.front()=min(a1,a2,…,ai).
Lấy ví dụ, với mảng A=1,3,5,4,2,8,A = 1, 3, 5, 4, 2, 8,A=1,3,5,4,2,8, việc lọc deque sẽ diễn ra như sau:
Bước lọc lại hàng đợi có thể mô tả như sau:
for (int i = 1; i n; ++i) while (!deque.empty() && a >= a) deque.pop_back();Mỗi lúc lọc xong hàng đợi với một vị trí i,i,i, ta có thể khẳng định li=deque.back()+1l_i = extdeque.back() + 1li=deque.back()+1 hoặc bằng 111. Thật vậy, bởi vì nhận xét (1)(1)(1) phía trên, ta thấy ali−1ai,a_l_i - 1 ali−1ai, cho nên trong quá trình lọc lại deque, trước khi đưa iii vào thời điểm cuối deque thì cực hiếm (li–1)(l_i – 1)(li–1) vẫn không bị nockout ra (vì ta chỉ loại các giá trị jjj nhưng aj≥aia_j ge a_iaj≥ai). Vậy sau khi lọc kết thúc deque, nó chỉ có thể ngơi nghỉ một trong nhì dạng: deque=…,li−1,i; extdeque = \dots, l_i - 1, i;deque=…,li−1,i; hoặc deque=∅ extdeque = emptysetdeque=∅. Nếu ở dạng 1,1,1, thì kết luận li=deque.back()+1,l_i = extdeque.back() + 1,li=deque.back()+1, ngược lại thì aia_iai chính là giá trị nhỏ nhất vào đoạn <1,i>,<1, i>,<1,i>, khi đó li=1l_i = 1li=1.
Cuối cùng, gửi iii vào cuối hàng đợi theo đúng quy trình. Để xây dựng mảng r,r,r, các bạn sẽ làm theo phương pháp tương tự, tuy nhiên cần duyệt các giá trị iii ngược từ nnn về 111.
Cài đặt:
#include using namespace std;const int maxn = 1e5 + 10;int n, a, l, r;void enter() ios_base::sync_with_stdio(false); cin.tie(nullptr); cin >> n; for (int i = 1; i n; ++i) cin >> a;void solve() deque int > qu_min; for (int i = 1; i n; ++i) while (!qu_min.empty() && a >= a) qu_min.pop_back(); l = (qu_min.empty()) ? 1 : qu_min.back() + 1; qu
Min.push_back(i); qu_min = deque int > (); // reset lại deque về rỗng. For (int i = n; i >= 1; --i) while (!qu_min.empty() && a >= a) qu
Min.pop_back(); r = (qu_min.empty()) ? n : qu_min.back() - 1; qu
Min.push_back(i); // In ra l, r ứng với mỗi a. For (int i = 1; i n; ++i) cout l " " r endl;int main() enter(); solve(); return 0;
Đánh giá
Độ phức tạp tính toán: bởi vì mỗi phần tử sẽ được đẩy vào hàng đợi một lần và lấy ra khỏi hàng đợi cũng không quá một lần, cần độ phức tạp của quá trình lọc hàng đợi chỉ là O(n)O(n)O(n). Độ phức tạp tính toán tổng quát là O(n)O(n)O(n).
Chi phí lưu lại trữ: O(n)O(n)O(n).
Bài toán 3
Đề bài
Cho trước list gồm n (1≤n≤2×105)n (1 le n le 2 imes 10^5)n (1≤n≤2×105) trái bóng, mỗi quả bóng có số điểm là ai (1≤i≤n),a_i (1≤i≤n),ai (1≤i≤n), và được cung cấp k (1≤k≤min(n,200))k ig(1 le k le extmin(n, 200)ig)k (1≤k≤min(n,200)) lượt chơi phun bóng. Ở từng lượt chơi, fan chơi được quyền lựa chọn 1 quả bóng nhằm bắn. Call pjp_jpj là số hiệu của quả bóng bị bắn ở lượt đồ vật j (1≤j≤k),j (1≤j≤k),j (1≤j≤k), thì số điểm tín đồ chơi cảm nhận ở lượt này sẽ là j×apjj×a_p_jj×apj. Mặc dù nhiên, trò chơi bao gồm một nguyên tắc lựa chọn sạn bong bóng để bắn như sau: Ở lượt chơi thứ j (1j≤k)j (1j (1j≤k) thì 1≤pj−pj−1≤m (1≤m≤n)1≤p_j-p_j - 1≤m (1 le m le n)1≤pj−pj−1≤m (1≤m≤n).
Yêu cầu: Hãy tính toàn bô điểm lớn nhất mà tín đồ chơi hoàn toàn có thể giành được sau kkk lượt chơi?
Input
Dòng thứ nhất chứa hai số nguyên dương n,mn, mn,m cùng kkk – số quả bóng, hằng số mmm và số lượt chơi fan chơi được cung cấp.Dòng đồ vật hai đựng nnn số nguyên dương a1,a2,…,ana_1,a_2,…,a_na1,a2,…,an – số điểm được ghi trên những quả bóng.
Output
Một số nguyên tốt nhất là tổng cộng điểm lớn nhất người chơi giành được.
Sample Input
7 1 31 9 2 4 5 3 Sample Output
32
Ý tưởng
Đây là một bài toán sử dụng quy hoạch động. Đặt dpdpdp là số điểm lớn nhất dành được khi tập luyện iii lượt, lựa chọn quả bóng sản phẩm công nghệ jjj để bắn ở lượt sản phẩm công nghệ iii. Theo đề bài, vị lượt thứ iii đã chọn quả bóng thứ j,j,j, buộc phải lượt thứ i−1i - 1i−1 chỉ được phép chọn các quả bóng vào đoạn . Từ đây dễ dàng hình thành công thức tầm nã hồi:
dp=max(dp<(j−1)...(j−M)>)+a×idp = extmax(dp<(j - 1)...(j - M)>) + a imes idp=max(dp<(j−1)...(j−M)>)+a×i
Nếu như dùng hai vòng lặp để tính các dpdpdp thì độ phức tạp thuật toán sẽ lên tới O(m×n),O(m imes n),O(m×n), ko thể đáp ứng được yêu thương cầu thời gian. Ta cải tiến như sau: nhận ra dpdpdp luôn luôn được cập nhật từ những đoạn tịnh tiến bên trên dp,dp,dp, thực hiện kĩ thuật deque min - max bên trên đoạn tịnh tiến để tìm ra những dpdpdp lớn số 1 với k=(j−1)...(j−m),k = (j - 1)...(j - m),k=(j−1)...(j−m), rồi update cho dpdpdp.
Về cơ sở quy hoạch động, ta khởi chế tạo ra trước dp<0>=−∞,dp<0> = -infty,dp<0>=−∞, biểu hiện rằng ko tồn tại dp<0>dp<0>dp<0> và các bài toán được update từ dp<0>dp<0>dp<0> cũng trở thành là các bài toán ko tồn tại bí quyết chơi.
Cài đặt
#include #define int long long#define inf 1e15using namespace std;const int maxn = 2e5 + 10, maxk = 201;int n, m, k, a, dp;void enter() cin >> n >> m >> k; for (int i = 1; i n; ++i) cin >> a;void solution() dp<1><0> = -inf; for (int j = 1; j n; ++j) // đại lý quy hoạch rượu cồn dp<1> = a; dp<1> = a; for (int i = 2; i k; ++i) dp<0> = -inf; deque int > qu_max; for (int j = 1; j n; ++j) while (!qu_max.empty() && qu_max.front() j - m) qu_max.pop_front(); while (!qu_max.empty() && dp dp) qu_max.pop_back(); qu_max.push_back(j - 1); dp = dp + a * i; int res = *max_element(dp, dp + 1 + N); cout res;main() ios_base::sync_with_stdio(false); cin.tie(nullptr); enter(); solution(); return 0;
Đánh giá
Độ phức tạp thuật toán: O(n×k)O(n imes k)O(n×k).
Chi phí lưu trữ: O(n×k)O(n imes k)O(n×k).
III. Tổng kết
Như vậy, mình đã hướng dẫn các bạn toàn bộ lý thuyết cũng như các bài tập tiêu biểu của kĩ thuật Deque tìm Min - Max trên đoạn tịnh tiến. Ưu điểm của kĩ thuật này là cài đặt dễ, tốc độ thực hiện cấp tốc và có thể áp dụng vào cải tiến tốc độ của rất nhiều bài toán khác nhau, đặc biệt là các bài toán quy hoạch động có công thức truy tìm hồi tương quan tới các đoạn tịnh tiến.

Xem thêm: Các Món Ăn Làm Từ Thịt Ba Chỉ Ngon "Nhứt Nách" Cho Cả Nhà!, Tổng Hợp 40 Món Ngon Từ Thịt Ba Chỉ (Ba Rọi) Thơm

Tuy nhiên, kĩ thuật này cũng có một nhược điểm, đó là không thể áp dụng với các bài toán mà dãy số bị cập nhật liên tục (nói cách khác, kĩ thuật chỉ sử dụng mang lại các bài toán xử lý offline). Lí bởi là vì, giả sử có mmm thao tác cập nhật dãy số, thì mỗi lần cập nhật ta lại phải tính lại min, max extmin, maxmin, max của từng đoạn, dẫn đến độ phức tạp trở thành O(n×m)O(n imes m)O(n×m). Trong trường hợp này, các bạn cần áp dụng cấu trúc dữ liệu Cây phân đoạn (Segment Tree).
Ngoài ra, có một lỗi nho nhỏ mà các bạn có thể mắc phải khi cài đặt kĩ thuật, đó là không kiểm tra hàng đợi có rỗng hay không (empty). Nếu hàng đợi rỗng mà vẫn lấy các vị trí front() hoặc back() thì sẽ bị lỗi. Hãy lưu lại ý điều này khi lập trình!
Các bạn có thể luyện tập thêm kĩ thuật này thông qua một số bài tập dưới đây:

push_front(x)	Thêm phần tử xxx vào đầu hàng đợi	O(1)O(1)O(1)
pop_front()	Xóa một phần tử ở đầu hàng đợi	O(1)O(1)O(1)
push_back(x)	Thêm phần tử xxx vào cuối hàng đợi	O(1)O(1)O(1)
pop_back()	Xóa một phần tử ở cuối hàng đợi	O(1)O(1)O(1)
size()	Trả về kích thước hiện tại của hàng đợi	O(1)O(1)O(1)
empty()	Trả về true nếu hàng đợi rỗng, ngược lại trả về false	O(1)O(1)O(1)
front()	Trả về phần tử ở đầu hàng đợi	O(1)O(1)O(1)
back()	Trả về phần tử ở cuối hàng đợi	O(1)O(1)O(1)

23/06/2023

Bài Toán Tìm Số Lớn Nhất, Nhỏ Nhất Trong Một Dãy Số Dễ Thực Hiện

1. Giới thiệu chung

2. Sử dụng hàng đợi nhị đầu vào C++

Bài toán 1

Đề bài

Ý tưởng

Cài đặt

Đánh giá

Bài toán 2

Đề bài

Ý tưởng

Đánh giá

Bài toán 3

Đề bài

Ý tưởng

Cài đặt

Đánh giá