Bài viết trả lời tính tích phân bằng phương thức đổi đổi mới số, có đổi biến hóa số dạng 1, đổi biến chuyển số dạng 2 và một số trong những bài toán sử dụng cách thức đổi phát triển thành số đặc biệt; trong mỗi cách thức đều trình diễn cụ thể các bước giải và ví dụ minh họa có lời giải chi tiết.

Bạn đang xem: Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến số

Cơ sở của phương thức tính tích phân bằng phương pháp đổi vươn lên là số là công thức:$intlimits_a^b fu"(x)dx = intlimits_alpha ^eta f(u)du $ với $α = u(a)$ và $β = u(b).$Từ đó, họ có hai phương pháp đổi biến chuyển số sau:

Tính tích phân bằng phương thức đổi trở thành số dạng 1Để tính tích phân: $I = intlimits_a^b g(x)dx $ ta triển khai các bước:Bước 1: Chọn biến số:+ so sánh $g(x)dx = fu"(x)dx$ $= fd.$+ Đặt $u = u(x).$Bước 2: Thực hiện phép thay đổi cận:+ cùng với $x = a$ thì $u = u(a).$+ cùng với $x = b$ thì $u = u(b).$Bước 3: Khi đó: $intlimits_a^b g(x)dx $ $ = intlimits_u(a)^u(b) f(u)du .$

Ví dụ 1: Tính những tích phân sau:a. $intlimits_0^1 x^3(1 + x^4)^3dx .$b. $intlimits_0^1 frac5xdx(x^2 + 4)^2 .$

a. Đặt $u = 1 + x^4$, suy ra $du = 4x^3dx.$Đổi cận: với $x = 0$ thì $u = 1$, với $x = 1$ thì $u = 2.$Từ đó: $intlimits_0^1 x^3(1 + x^4)^3dx $ $= frac14intlimits_1^2 u^3du $ $ = frac116left. U^4 ight|_1^2$ $ = frac1516.$b. Đặt $u = x^2 + 4$, suy ra $du = 2xdx.$Đổi cận: Với $x = 0$ thì $u = 4$, cùng với $x = 1$ thì $u = 5.$Từ đó: $intlimits_0^1 frac5x(x^2 + 4)^2dx $ $ = frac52intlimits_4^5 fracduu^2 $ $ = left. – frac52u ight|_4^5$ $ = frac18.$

Ví dụ 2: Tính những tích phân sau:a. $intlimits_0^pi /6 (1 – cos 3x)sin 3xdx .$b. $intlimits_0^pi /4 frac an x.dxcos ^2x .$

a. Đặt $u = 1 – cos3x$, suy ra $du = 3sin3x.dx.$Đổi cận: cùng với $x = 0$ thì $u = 0$, với $x = fracpi 6$ thì $u = 1.$Từ đó: $intlimits_0^fracpi 6 (1 – cos 3x)sin 3xdx $ $ = frac13intlimits_0^1 udu $ $ = frac16u^2left| _0^1 ight.$ $ = frac16.$b. Đặt $u = tanx$, suy ra $du = fracdxcos ^2x.$Đổi cận: cùng với $x = 0$ thì $u = 0$, cùng với $x = fracpi 4$ thì $u = 1.$Từ đó: $intlimits_0^fracpi 4 frac an xcos ^2xdx $ $ = intlimits_0^1 udu $ $ = frac12u^2left| _0^1 ight.$ $ = frac12.$

Ví dụ 3: Tính các tích phân sau:a. $intlimits_0^sqrt 3 xsqrt 1 + x^2 dx .$b. $intlimits_0^sqrt 3 x^5sqrt 1 + x^2 dx.$

a. Ta hoàn toàn có thể trình bày theo những cách sau:Cách 1: Đặt $u = sqrt x^2 + 1 $, suy ra: $u^2 = x^2 + 1$ $⇒ 2udu = 2xdx$ $⇒ udu = xdx.$Đổi cận: Với $x = 0$ thì $u = 1$, với $x = sqrt 3 $ thì $u = 2.$Từ đó: $intlimits_0^sqrt 3 xsqrt 1 + x^2 dx $ $ = intlimits_1^2 u^2du $ $ = frac13left. U^3 ight|_1^2$ $ = frac73.$Cách 2: Đặt $u = x^2 + 1$, suy ra $du = 2xdx.$Đổi cận: Với $x = 0$ thì $u = 1$, cùng với $x = sqrt 3 $ thì $u = 4.$Từ đó: $intlimits_0^sqrt 3 xsqrt 1 + x^2 dx $ $ = frac12intlimits_1^4 sqrt u du $ $ = frac13left. U^3/2 ight|_1^4$ $ = frac73.$Cách 3: triển khai phép vươn lên là đổi:$intlimits_0^sqrt 3 xsqrt 1 + x^2 dx $ $ = frac12intlimits_0^sqrt 3 sqrt 1 + x^2 d(1 + x^2) $ $ = frac12intlimits_0^sqrt 3 (1 + x^2)^frac12d(1 + x^2) $ $ = frac13left. (1 + x^2)^3/2 ight|_0^sqrt 3 $ $ = frac73.$b. Đặt $u = sqrt 1 + x^2 $ $⇔ u^2 = 1 + x^2$ $⇔ 2udu = 2xdx.$Đổi cận: với $x = 0$ thì $u = 1$, với $x = sqrt 3 $ thì $u = 2.$Khi đó: $intlimits_0^sqrt 3 x^5sqrt 1 + x^2 dx$ $ = intlimits_1^2 (u^2 – 1)^2u^2 du$ $ = intlimits_1^2 (u^6 – 2u^4 + u^2) du$ $ = left( frac17u^7 – frac25u^5 + frac13u^3 ight) left| eginarrayl2\1endarray ight.$ $ = frac848105.$

Ví dụ 4: Tính tích phân: $I = intlimits_0^1 fracdxe^2x + 3 .$

Đặt $u = e^2x + 3$, suy ra $du = 2e^2xdx = 2(u – 3)dx$ $⇔ dx = fracdu2(u – 3).$Đổi cận: với $x = 0$ thì $u = 4$, cùng với $x = 1$ thì $u = e^2 + 3.$Từ đó: $I = frac12intlimits_4^e^2 + 3 fracduu(u – 3) $ $ = frac16intlimits_4^e^2 + 3 left( frac1u – 3 – frac1u ight)du $ $ = frac16left. left( ight) ight|_4^e^2 + 3$ $ = frac16left. ln left ight|_4^e^2 + 3$ $= frac16ln frac4e^2e^2 + 3.$

Tính tích phân bằng phương pháp đổi biến chuyển số dạng 2Để tính tích phân: $I = intlimits_a^b f(x)dx$, với trả thiết hàm số $f(x)$ tiếp tục trên $$, ta triển khai theo các bước:Bước 1: chọn $x = φ(t)$, trong số đó $φ(t)$ là hàm số được lựa lựa chọn một cách tương thích (ảnh của $φ$ nằm trong tập khẳng định của $f$).Bước 2: đem vi phân $dx = φ"(t)dt$, giả sử $φ"(t)$ liên tục.Bước 3: Ta lựa lựa chọn 1 trong nhị hướng:+ Hướng 1: nếu như tính được các cận $α$ với $β$ tương xứng theo $a$ với $b$ (với $a = φ(α)$ cùng $b = φ(β)$) thì ta được: $I = int_alpha ^eta f(varphi (t)).varphi ‘(t)dt.$+ Hướng 2: Nếu ko kể được tiện lợi các cận khớp ứng theo $a$ với $b$ thì ta sàng lọc việc khẳng định nguyên hàm, từ kia suy ra giá trị của tích phân khẳng định (trong trường hòa hợp này $φ$ phải là 1-1 ánh để diễn tả kết quả hàm số của $t$ thành hàm số của $x$).Chú ý: Để minh hoạ bài toán lựa chọn một trong nhì hướng trên, ta có ví dụ:a. Với $I = intlimits_0^1/2 f(x)dx $ việc chọn lựa ẩn phụ $x = sint$, $-fracpi 2 ≤ t ≤ fracpi 2$ cho phép ta lựa tính phía hướng 1, vày khi đó: cùng với $x = 0$, suy ra $t = 0$, với $x = frac12$, suy ra $t = fracpi 6.$b. Với $I = intlimits_0^1/3 f(x)dx$ vấn đề lựa chọn ẩn phụ $x = sint$, $-fracpi 2 ≤ t ≤ fracpi 2$ ta hay lựa tính phía hướng 2, bởi khi đó: với $x = frac13$ ta không chỉ ra được số đo góc $t$.

Ví dụ 5: Tính các tích phân sau:a. $I = intlimits_0^1/2 sqrt 1 – x^2 dx .$b. $I = intlimits_2^2/sqrt 3 fracdxxsqrt x^2 – 1 .$

a. Đặt $x = sint$ cùng với $t in left< – fracpi 2; fracpi 2 ight>$, suy ra $dx = cost.dt.$Đổi cận: cùng với $x = 0$ thì $t = 0$, với $x = frac12$ thì $t = fracpi 6.$Khi đó: $I = intlimits_0^pi /6 sqrt 1 – sin ^2t .cos t.dt $ $ = intlimits_0^pi /6 cos ^2t.dt $ $ = frac12 intlimits_0^pi /6 (1 + cos 2t).dt $ $ = frac12 (t + frac12sin2t) left| _0^pi /6 ight.$ $ = frac12left( fracpi 6 + fracsqrt 3 4 ight).$Cách khác: Đặt $x = cost$ cùng với $t ∈ <0; π>.$b. Đặt $x = frac1sin t$ cùng với $t in left( 0; fracpi 2 ight)$, suy ra $dx = – fraccos t.dtsin ^2t.$Đổi cận: cùng với $x = 2$ thì $t = fracpi 6$, với $x = frac2sqrt 3 $ thì $t = fracpi 3.$Khi đó: $I = intlimits_pi /6^pi /3 frac – frac1sin ^2tcos tdtfrac1sin tsqrt frac1sin ^2t – 1 $ $ = – intlimits_pi /6^pi /3 dt $ $ = – left. T ight|_pi /6^pi /3$ $ = – fracpi 6.$Cách khác: Đặt $x = frac1comathop m s olimits t$ cùng với $t in left( 0; fracpi 2 ight).$Chú ý:a. Trong giải mã trên việc lựa chọn miền giá trị mang đến ẩn phụ $t$ dựa vào vào nhị cận của tích phân.b. Cũng hoàn toàn có thể sử dụng phép đổi trở thành $t = frac1x$, bằng biện pháp viết:$I = intlimits_2^2/sqrt 3 fracdxx^2sqrt 1 – frac1x^2 $ $ = intlimits_1/2^sqrt 3 /2 fracdtsqrt 1 – t^2 .$Rồi liên tiếp sử dụng phép đổi vươn lên là $t = sinu$ cùng với $u ∈ (0; fracpi 2)$, ta được:$I = intlimits_pi /6^pi /3 du $ $ = left. U ight|_pi /6^pi /3$ $ = fracpi 6.$

Ví dụ 6: Tính các tích phân sau:a. $I = intlimits_0^1 xsqrt 1 + x^2 dx .$b. $I = intlimits_0^1 fracdxx^2 + 1 .$

a. Đặt $x = tant$, $t in left< – fracpi 2; fracpi 2 ight>$ suy ra $dx = fracdtcos ^2t.$Đổi cận: Với $x = 0$ thì $t = 0$, cùng với $x = 1$ thì $t = fracpi 4.$Khi đó: $I = intlimits_0^pi /4 an t.sqrt 1 + an ^2t .fracdtcos ^2t $ $ = – intlimits_0^pi /4 fracd(cos t)cos ^4t $ $ = left. frac13cos ^3t ight|_0^pi /4$ $ = frac2sqrt 2 – 13.$b. Đặt $x = tant$, $t in left< – fracpi 2; fracpi 2 ight>$ suy ra $dx = fracdtcos ^2t$ $= (1 + tan^2t)dt.$Đổi cận: với $x = 0$ thì $t = 0$, với $x = 1$ thì $t = fracpi 4.$Khi đó: $I = intlimits_0^pi /4 frac(1 + an ^2t)dt an ^2t + 1 $ $ = intlimits_0^pi /4 dt $ $ = m tleft| _0^pi /4 ight.$ $ = fracpi 4.$

Ví dụ 7: Tính các tích phân sau:a. $I = intlimits_ – 1^0 sqrt frac1 + x1 – x dx .$b. $I = intlimits_5/4^3/2 sqrt (x – 1)(2 – x) dx .$

a. Đặt $x = cos2t$, $t in left( 0; fracpi 2 ight>$ suy ra $dx = -2sin2t.dt.$Đổi cận: cùng với $x = -1$ thì $t = fracpi 2$, với $x = 0$ thì $t = fracpi 4.$Ta có: $sqrt frac1 + x1 – x dx$ $ = sqrt frac1 + cos 2t1 – cos 2t (-2sin2t.dt)$ $= |cott|(-2sin2t.dt)$ $= -4cos^2t.dt = -2(1 + cos2t)dt.$Khi đó: $I = – 2intlimits_pi /2^pi /4 (1 + cos 2t)dt $ $ = – 2left( t + frac12sin 2t ight)left| _pi /2^pi /4 = fracpi 2 – 1 ight.$.b. Đặt $x = 1 + sin^2t$, $t in left< 0; fracpi 2 ight>$ suy ra $dx = sin2t.dt.$Đổi cận: với $x = frac54$ thì $t = fracpi 6$, với $x = frac32$ thì $t = fracpi 4.$Ta có: $sqrt (x – 1)(2 – x) dx$ $ = frac12sin ^22tdt$ $ = frac14left( 1 – cos 4t ight)dt.$Khi đó: $I = intlimits_pi /6^pi /4 frac14(1 – cos 4t)dt $ $ = frac14left. left( t – frac14sin 4t ight) ight|_pi /6^pi /4$ $ = fracpi 48 + fracsqrt 3 32.$

Phương pháp đổi phát triển thành cho lớp hàm số sệt biệtDựa vào việc xem xét cận của tích phân và tính chất của hàm số dưới vết tích phân ta hoàn toàn có thể lựa chọn phép để ẩn phụ, thông thường:+ cùng với $I = intlimits_ – a^a f(x)dx$ rất có thể lựa chọn bài toán đặt $x = -t.$+ Với $I = intlimits_0^pi /2 f(x)dx $ có thể lựa chọn việc đặt $t = fracpi 2 – x.$+ Với $I = intlimits_0^pi f(x)dx $ có thể lựa chọn việc đặt $t = π – x.$+ Với $I = intlimits_0^2pi f(x)dx $ có thể lựa chọn bài toán đặt $t = 2π – x.$+ Với $I = intlimits_a^b xf(x)dx$ có thể lựa chọn bài toán đặt $x = a + b – t.$

Ví dụ 8: Tính các tích phân sau:a. $I = intlimits_ – 1^1 x^2010sin x.dx .$b. $I = intlimits_0^2pi x.cos ^3xdx .$

a. Viết lại $I$ bên dưới dạng: $I = intlimits_ – 1^0 x^2010sin x.dx + intlimits_0^1 x^2010sin x.dx $ $(*).$Xét tính phân $J = intlimits_ – 1^0 x^2010sin x.dx $ bằng phương pháp đặt $x = -t$ thì $dx = -dt.$Đổi cận: cùng với $x = -1$ thì $t = 1$, với $x = 0$ thì $t = 0.$Khi đó: $J = – intlimits_1^0 ( – t)^2004sin ( – t)dt $ $ = – intlimits_0^1 t^2004sin tdt $ $ = – intlimits_0^1 x^2004sin xdx $ $(**).$Thay $(**)$ vào $(*)$ ta được $I = 0.$b. Đặt $x = 2π – t$ suy ra $dx = -dt.$Đổi cận: cùng với $x = 2π$ thì $t = 0$, với $x = 0$ thì $t = 2π.$Khi đó: $I = intlimits_2pi ^0 (2pi – t).cos ^3(2pi – t)( – dt) $ $ = intlimits_0^2pi (2pi – t).cos ^3tdt $ $ = 2pi intlimits_0^2pi cos ^3tdt – intlimits_0^2pi tcos ^3tdt $ $ = fracpi 2intlimits_0^2pi (cos 3t + 3cos t)dt – I$ $ Leftrightarrow 2I = fracpi 2left( frac13sin 3t + 3sin t ight)left| _0^2pi = 0 ight.$ $ Leftrightarrow I = 0.$

Ví dụ 9: Tính những tích phân sau:a. $I = intlimits_0^pi x.sin x.cos ^2 xdx.$b. $I = intlimits_0^pi /2 ln left( frac1 + sin x1 + cos x ight) dx.$

a. Đặt $x = π – t$ suy ra $dx = -dt.$Đổi cận: cùng với $x = π$ thì $t = 0$, cùng với $x = 0$ thì $t = π.$Khi đó: $I = – intlimits_pi ^0 (pi – t).sin (pi – t).cos ^2(pi – t)dt $ $ = intlimits_0^pi (pi – t).sin t.cos ^2tdt $ $ = pi intlimits_0^pi sin t.cos ^2tdt $ $ – intlimits_0^pi t.sin t.cos ^2tdt $ $ = fracpi 2intlimits_0^pi sin 2t.cos tdt – I$ $ Leftrightarrow 2I = fracpi 4intlimits_0^pi (sin 3t + sin t)dt $ $I = fracpi 8left( – frac13cos 3t – cos t ight)left| _0^pi ight.$ $ = fracpi 3.$b. Đặt $t = fracpi 2 – x$ suy ra $dx = -dt.$Đổi cận: cùng với $x = 0$ thì $t = fracpi 2$, với $x = fracpi 2$ thì $t = 0.$Khi đó: $I = intlimits_pi /2^0 ln left( frac1 + sin (fracpi 2 – t)1 + cos (fracpi 2 – t) ight) ( – dt)$ $ = intlimits_0^pi /2 ln left( frac1 + cos t1 + sin t ight) dt$ $ = – intlimits_0^pi /2 ln left( frac1 + sin t1 + cos t ight) dt$ $ = – intlimits_0^pi /2 ln left( frac1 + sin x1 + cos x ight) dx$ $= -I$ $⇔ 2I = 0 ⇔ I = 0.$

Tính tích phân bằng cách thức đổi đổi mới số được sử dụng tương đối nhiều trong công tác lớp 12, thuộc với phương thức tích phân từng phần giúp họ giải quyết được tương đối nhiều bài toán tích phân "khó nhằn".


Vậy phương thức tính tích phân bằng phương pháp đổi đổi thay số thực hiện như vậy nào? bài viết dưới đây bọn họ cùng tìm kiếm hiểu các bước thực hiện nay khi tính tích phân bằng phương pháp đổi đổi thay số và áp dụng giải những bài tập tích phân biệt họa.


» Đừng vứt lỡ: Tích phân từng phần, Công thức phương pháp tính và bài bác tập có giải thuật chi tiết, dễ hiểu

I. Tính tích phân bằng phương thức đổi đổi thay số

• kiến thức và kỹ năng cần nhớ:

Định lý: mang lại hàm số f(x) liên tục trên . Trả sử hàm số x = μ(t) tất cả đạo hàm liên tục trên <α;β> sao cho μ(α) = a; μ(β) = b và a ≤ μ(t) ≤ b với đa số t ∈ <α;β>. Lúc đó:

*

- Khi tính tích phân bằng phương pháp đổi đổi mới số ta thường gặp gỡ 2 dạng đổi biến sau:

• phương pháp đổi vươn lên là số dạng 1:

- Đặt 

*
 thỏa đk của công thức

- trở thành đổi: 

*

- tra cứu một nguyên hàm của g(t) rồi áp dụng

 

> lưu ý: Đối cùng với dạng (a2 - x2) thì đặt x = asint, dạng (a2 + x2) thì đặt x = atant.

• phương thức đổi biến đổi số dạng 2:

- Đặt 

*
 đổi cận

- biểu diễn f(x)dx = g(t)dt

- Áp dụng: 

II. Bài bác tập tính tích phân bằng phương pháp đổi biến chuyển số

* bài bác tập 1 : Tính cáctích phân sau:

 

* Lời giải: (sử dụng cách thức đổi trở thành số dạng 1)

- Ta có: 

*

- Xét: 

*
 
*

- Xét: 

*
 
*

 

*

Vậy: 

*

- Ta có: 

*

 

*

 

*
 
*

- Ta có: 

*
 
*

* bài xích tập 2: Tính những tính phân sau:

* Lời giải: (sử dụng cách thức đổi trở nên số dạng 2)

- Đặt 

*
 
*

- Đổi cận: 

*

*

 

*
 
*

- Đặt 

*
 
*

- Đổi cận: x = 0 thì t = 0; x = 1 thì t = π/4.

*
 

*

- Đặt 

*

- Đổi cận: x = e ⇒ t = 1; x = e2 ⇒ t = 2.

*

- Ta có:

*
 
*

- Đặt

*

- Đổi cận: x = 0 ⇒ t = 1; x = π/4 ⇒ t = 2.

*

III. Bài xích tập tính tích phân bằng phương thức đổi thay đổi số tự làm

* bài xích tập 1: Tính những tính phân sau:

*
*

*
*

* hướng dẫn:

a) Đặt t = 5x - 1 (hoặc thực hiện pp đổi đổi thay số dạng 1)

b) Đặt t = 1 + sinx

c) Đặt t = 2x.

d) Đặt t = x/3.

* bài tập 2: Tính những tính phân sau:

* hướng dẫn:

 

*

Xét 

*
 Đặt t = -x thì dt = -dx xuất xắc dx = -dt;

Đổi cận: x = -1 thì t = 1; x = 0 thì t = 0.

*

Do đó: 

*

- Ta có: 

*

 

*
 
*

* bài tập 3: Tính các tích phân sau:

*

* hướng dẫn:

*

- Đặt t = tanx.

 

*

- Đặt t = ex + 1.

 

*

*

d) Đặt x = tant.

* bài xích tập 4. Tính những tích phân sau:

*
*

*
*

* phía dẫn:

a) Đặt t = 1 + cos2x.

c) Đặt x = sint

d) Đặt x = tant.

¤ một vài dấu hiệu nhận thấy các tích phân hoàn toàn có thể dùng phương thức đổi trở thành số.

+ Có 

*
 có thể đặt 
*

+ Có 

*
 có thể đặt 
*

+ Có 

*
 có thể đặt 
*

+ Có 

*
 có thể để t = lnx (hoặc biểu thức cất lnx).

+ có ex có thể đặt t = ex (hoặc biểu thức cất ex)

+ có cosx (hoặc sinx) hoàn toàn có thể đặt t = sinx (hoặc t = cosx)

+ Có 

*
 (hoặc 
*
) rất có thể đặt t = tanx (hoặ t = cotx).


Như vậy, việc tính tích phân bằng cách thức đổi trở nên số dạng 1 và dạng 2 cũng ko gì ngoại trừ mục đích chúng ta đưa được bài xích tích phân thuở đầu về dạng đơn giản dễ dàng hơn để vận dụng các nguyên hàm cơ bản.

Xem thêm: Thịt Nai Làm Món Ngon Từ Thịt Nai Nấu Món Gì Ngon, Top 12+ Món Ăn Dễ Làm Từ Thịt Nai

Tương trường đoản cú như tích phân từng phần, điều quan trọng đặc biệt trong cách thức đổi biến số là bọn họ nhận biết được bài toán nào buộc phải sử dụng cách thức này, cần đặt thay đổi số là đại lượng nào? chính vì vậy mà các em bắt buộc làm nhiều bài tập để ghi nhớ và rèn luyện kĩ năng giải, chúc những em thành công.